Une commande de flacons

Durant le mois de janvier \(2020\) , une entreprise produit \(2\,500\)  flacons de parfum, ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de \(108\) flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de \(3,8\)  %.

On considère la suite \((f_n)\)  où, pour tout entier naturel \(n\) , \(f_n\)  modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang \(n\)  après janvier \(2020\) ; ainsi \(f_0\)  est le nombre de flacons produits en janvier \(2020\) , \(f_1\)  le nombre de flacons produits en février \(2020\) , etc.

De la même manière, on considère la suite \((c_n)\)  où, pour tout entier naturel \(n\) , \(c_n\)  modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang \(n\)  après janvier \(2020\) .

On a donc \(f_0 = c_0 = 2\, 500\) .

1. Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février \(2020\) .

2. Déterminer la nature des suites \((f_n)\)  et \((c_n)\) .

3. Exprimer, pour tout entier \(n\) , \(f_n\)  et \(c_n\)  en fonction de \(n\) .

4. On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.

Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-contre, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable `n` contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.

\(\begin{array}{}\texttt{n=0}\\\texttt{f=2500}\\\texttt{c=2500}\\\texttt{while}\ldots:\\\qquad\texttt{n=}\ldots\\\qquad\texttt{f=}\ldots\\\qquad\texttt{c=}\ldots\\\end{array}\)

5. De début janvier \(2020\) à fin décembre \(2020\) , la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer la démarche.

On rappelle que :

• Si \((u_n)\)  est une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) , alors, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(u_0+ u_1+\dots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\) .
• Si \((v_n)\)  est une suite géométrique de raison \(q\not= 1\) , alors, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(v_0+v_1+\dots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) .